15. 편입 미적분학 中 ‘미적분학의 기본정리’에 관하여

편입수학,
‘미적분학의 기본정리’가 뭐길래?
(수포자 필독)

[미적분학의 기본정리 / 정적분 / 미분과 적분 관계 / 편입수학]

🤔 STEP 1: 모든 것은 ‘넓이’를 구하려는 노력에서 시작됐다

미적분의 시작은 ‘변화하는 무언가’를 관찰하는 것입니다. 가장 대표적인 예시로, 시간에 따라 속도가 변하는 자동차의 이동 거리를 구하는 문제를 생각해봅시다.

8초 동안 자동차가 이동한 거리는 위 그래프의 아래쪽 넓이와 같습니다. (시간 x 속도 = 거리) 하지만 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 어떻게 구해야 할까요? 수학자들은 우리가 아는 ‘직사각형’으로 근사치를 구하는 방법을 생각했습니다.

✨ STEP 2: 미분과 적분을 연결하는 위대한 다리

자, 이제 한 걸음 더 나아가 봅시다. 우리는 임의의 시간 T에 대해, 출발부터 T까지의 ‘누적 이동거리’를 나타내는 함수 s(T)를 구하고 싶습니다. 이 s(T)를 구하는 과정이 바로 미적분학의 기본 원리를 드러냅니다.

아주 짧은 시간 dT 동안의 이동거리를 ds라고 해봅시다. 이때의 속도 v(T)는 ds/dT, 즉 **’이동거리 함수 s(T)의 순간 변화율(미분계수)’**과 같습니다. 이 말은 곧, 우리가 모르는 이동거리 함수 s(T)를 미분했더니 속도 함수 v(t)가 되었다는 뜻입니다!

결국, 속도 그래프 아래의 넓이를 구해 이동거리를 알아내는 ‘적분’ 문제는, ‘미분해서 속도 함수가 되는 원래 함수(원시함수)를 찾는’ 문제와 같아집니다. 이것이 바로 미분과 적분을 연결하는 위대한 다리, **미적분학의 기본정리**입니다.